Die Ausdehnung des reellen Kapitulations-Projektes
mittels der neuen Top Down-Technik der fast-homogenen und exotischen 3-Klassengruppen
über die Diskriminanten-Grenze 106 hinaus
wurde von mir
-
am 27. Januar 2010 mit der neuen Schranke 1.5*106,
-
am 05. Februar 2010 mit der neuen Schranke 2*106,
-
am 15. Februar 2010 mit der neuen Schranke 3*106,
-
am 26. Februar 2010 mit der neuen Schranke 4*106,
-
am 04. März 2010 mit der neuen Schranke 5*106,
-
am 08. März 2010 mit der neuen Schranke 6*106,
-
am 11. März 2010 mit der neuen Schranke 7*106,
-
am 14. März 2010 mit der neuen Schranke 8*106,
-
am 18. März 2010 mit der neuen Schranke 9*106 und
-
am 20. März 2010 mit der neuen Schranke 107
abgeschlossen.
Das gibt Anlass dazu, verschiedene statistische Ergebnisse
dieser umfangreichen Berechnungen zusammenzufassen.
a) die Verteilung der Grundobjekte des "Real Capitulation Project",
nämlich der reell quadratischen Zahlkörper K mit einer
3-Klassengruppe Cl3(K) = Syl3Cl(K) vom Typ
(3,3), (9,3), (27,3), (81,3) bzw. (9,9),
in relativen Intervallen der Länge 500000
|
Diskriminante
|
0 < d < 5*105
|
5*105 < d < 106
|
106 < d < 1.5*106
|
1.5*106 < d < 2*106
|
2*106 < d < 2.5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
58
|
91
|
91
|
120
|
100
|
|
Cl3(K) ≅ (9,3)
|
3
|
9
|
9
|
11
|
9
|
|
Cl3(K) ≅ (27,3)
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
|
Diskriminante
|
2.5*106 < d < 3*106
|
3*106 < d < 3.5*106
|
3.5*106 < d < 4*106
|
4*106 < d < 4.5*106
|
4.5*106 < d < 5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
127
|
128
|
129
|
139
|
117
|
|
Cl3(K) ≅ (9,3)
|
14
|
13
|
13
|
12
|
11
|
|
Cl3(K) ≅ (27,3)
|
1
|
1
|
0
|
0
|
2
|
|
Cl3(K) ≅ (81,3)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
Diskriminante
|
5*106 < d < 5.5*106
|
5.5*106 < d < 6*106
|
6*106 < d < 6.5*106
|
6.5*106 < d < 7*106
|
7*106 < d < 7.5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
133
|
125
|
144
|
132
|
143
|
|
Cl3(K) ≅ (9,3)
|
21
|
12
|
11
|
19
|
21
|
|
Cl3(K) ≅ (27,3)
|
0
|
2
|
4
|
0
|
4
|
|
Cl3(K) ≅ (81,3)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
Diskriminante
|
7.5*106 < d < 8*106
|
8*106 < d < 8.5*106
|
8.5*106 < d < 9*106
|
9*106 < d < 9.5*106
|
9.5*106 < d < 107
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
164
|
158
|
165
|
157
|
155
|
|
Cl3(K) ≅ (9,3)
|
14
|
18
|
19
|
11
|
21
|
|
Cl3(K) ≅ (27,3)
|
0
|
0
|
0
|
3
|
0
|
|
Cl3(K) ≅ (81,3)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
Cl3(K) ≅ (9,9)
|
0
|
0
|
2
|
0
|
0
|
sowie die absolute und relative Häufigkeit aller Grundobjekte
mit triadisch irregulärer Diskriminante, also mit nicht-zyklischer 3-Klassengruppe,
hier stets mit 3-Klassenrang r3Cl3(K) = 2,
in absoluten Intervallen der Länge 5n*105
|
Diskriminante
|
0 < d < 5*105
|
0 < d < 106
|
0 < d < 1.5*106
|
0 < d < 2*106
|
0 < d < 2.5*106
|
|
r3Cl3(K) = 2
|
61
|
161
|
261
|
393
|
504
|
|
ppm
|
122
|
161
|
174
|
197
|
202
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 3*106
|
0 < d < 3.5*106
|
0 < d < 4*106
|
0 < d < 4.5*106
|
0 < d < 5*106
|
|
r3Cl3(K) = 2
|
646
|
788
|
930
|
1081
|
1212
|
|
ppm
|
215
|
225
|
233
|
240
|
242
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 5.5*106
|
0 < d < 6*106
|
0 < d < 6.5*106
|
0 < d < 7*106
|
0 < d < 7.5*106
|
|
r3Cl3(K) = 2
|
1366
|
1505
|
1664
|
1815
|
1983
|
|
ppm
|
248
|
251
|
256
|
259
|
264
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 8*106
|
0 < d < 8.5*106
|
0 < d < 9*106
|
0 < d < 9.5*106
|
0 < d < 107
|
|
r3Cl3(K) = 2
|
2161
|
2337
|
2523
|
2694
|
2870
|
|
ppm
|
270
|
275
|
280
|
284
|
287
|
Diese Grundkonstruktion der triadisch irregulären quadratischen Diskriminanten d
mit nicht-zyklischer 3-Klassengruppe vom Rang zwei
vollziehe ich durch das Aufstellen einer Liste von erzeugenden Polynomen
für alle total reellen kubischen Zahlkörper L mit Fundamentaldiskriminante D = d im gewünschten Bereich.
Der Normalkörper N eines solchen kubischen Körpers L ist also unverzweigt mit Führer f = 1
über seinem quadratischen Teilkörper K und hat die Diskriminante d3.
Dabei bediene ich mich der Methode von Voronoi [Vo1] zur Bestimmung einer Ganzheitsbasis von L
und der Körperdiskriminante D aus Polynomdiskriminante Δ = i2D und Polynomindex i.
Sodann berechne ich den Regulator von L
mithilfe des zweidimensionalen Algorithmus von Voronoi [Vo2] für Ketten und Zweige von Gitterminima.
Die Quartette mit übereinstimmender Diskriminante aber verschiedenen Regulatoren
unter meinen konstruierten kubischen Körpern L
befinden sich aufgrund der Klassenkörper- und Galoistheorie (Artin-Isomorphie und Galois-Korrespondenz)
in umkehrbar eindeutiger Zuordnung zu den reell quadratischen Körpern mit 3-Klassengruppen vom Typ
(3,3), (9,3), (27,3), (81,3) und (9,9).
Meine erzielten Ergebnisse stimmen perfekt überein mit den Angaben von Llorente und Quer [LlQu].
Durch Vergleich ihrer Tabelle 6 (p. 591) der wenigen Quartette mit Führer f = 3mT0 > 1
und der Spalte "Noncyclic (accum.)" in Tabelle 4 (p. 589) der Anzahl aller Quartette mit beliebigen Führern
ergibt sich für die ersten zehn absoluten Bereiche (akkumulierten Sektoren)
-
für 0 < d < 106 gibt es 161 = 149 + 12 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 2*106 gibt es 394 - 1 = 393 = 360 + 32 + 1 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 3*106 gibt es 649 - 3 = 646 = 587 + 55 + 4 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 4*106 gibt es 933 - 3 = 930 = 844 + 81 + 5 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 5*106 gibt es 1216 - 4 = 1212 = 1100 + 104 + 7 + 1 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 6*106 gibt es 1509 - 4 = 1505 = 1358 + 137 + 9 + 1 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 7*106 gibt es 1820 - 5 = 1815 = 1634 + 167 + 13 + 1 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 8*106 gibt es 2168 - 7 = 2161 = 1941 + 202 + 17 + 1 Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 9*106 gibt es 2532 - 9 = 2523 = 2264 + 239 + 17 + 1 + 2
Quartette mit f = 1,
-
für 0 < d < 107 gibt es 2879 - 9 = 2870 = 2576 + 271 + 20 + 1 + 2
Quartette mit f = 1.
Diese Liste mit erzeugenden Polynomen von Quartetten dient als Input
für meinen Top Down Capitulation Algorithm,
den ich als PARI / GP - Skript implementiert habe.
Die Grundobjekte mit 3-Klassengruppen vom Typ (9,3), (27,3), (81,3) und (9,9) werden von mir
im Projekt der
allgemeinen metabelschen 3-Gruppen mir zwei Erzeugenden
untersucht.
Im folgenden beschränke ich mich auf die Beschreibung der Ergebnisse der Anwendung
des Top Down Capitulation Algorithm auf Grundobjekte mit 3-Klassengruppen vom Typ (3,3).
b) die absolute und relative Häufigkeit der Grundobjekte
mit garantiert 2-stufigem bzw. möglicherweise 3- oder mehrstufigem
Turm von unverzweigten (Hilbertschen) 3-Klassenkörpern
in absoluten Intervallen der Länge 5n*105
|
Diskriminante
|
0 < d < 5*105
|
0 < d < 106
|
0 < d < 1.5*106
|
0 < d < 2*106
|
0 < d < 2.5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
58
|
149
|
240
|
360
|
460
|
|
ppm
|
116
|
149
|
160
|
180
|
184
|
|
3-stufig, Zahl
|
7
|
21
|
36
|
52
|
65
|
|
Prozent
|
12.1
|
14.1
|
15.0
|
14.4
|
14.1
|
|
2-stufig, Zahl
|
51
|
128
|
204
|
308
|
395
|
|
Prozent
|
87.9
|
85.9
|
85.0
|
85.6
|
85.9
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 3*106
|
0 < d < 3.5*106
|
0 < d < 4*106
|
0 < d < 4.5*106
|
0 < d < 5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
587
|
715
|
844
|
983
|
1100
|
|
ppm
|
196
|
204
|
211
|
218
|
220
|
|
3-stufig, Zahl
|
81
|
96
|
112
|
132
|
147
|
|
Prozent
|
13.8
|
13.4
|
13.3
|
13.4
|
13.4
|
|
2-stufig, Zahl
|
506
|
619
|
732
|
851
|
953
|
|
Prozent
|
86.2
|
86.6
|
86.7
|
86.6
|
86.6
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 5.5*106
|
0 < d < 6*106
|
0 < d < 6.5*106
|
0 < d < 7*106
|
0 < d < 7.5*106
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
1233
|
1358
|
1502
|
1634
|
1777
|
|
ppm
|
224
|
226
|
231
|
233
|
237
|
|
3-stufig, Zahl
|
170
|
183
|
206
|
224
|
244
|
|
Prozent
|
13.8
|
13.5
|
13.7
|
13.7
|
13.7
|
|
2-stufig, Zahl
|
1063
|
1175
|
1296
|
1410
|
1533
|
|
Prozent
|
86.2
|
86.5
|
86.3
|
86.3
|
86.3
|
|
Diskriminante
|
0 < d < 8*106
|
0 < d < 8.5*106
|
0 < d < 9*106
|
0 < d < 9.5*106
|
0 < d < 107
|
|
Cl3(K) ≅ (3,3)
|
1941
|
2099
|
2264
|
2421
|
2576
|
|
ppm
|
243
|
247
|
252
|
255
|
258
|
|
3-stufig, Zahl
|
265
|
288
|
313
|
331
|
353
|
|
Prozent
|
13.7
|
13.7
|
13.8
|
13.7
|
13.7
|
|
2-stufig, Zahl
|
1676
|
1811
|
1951
|
2090
|
2223
|
|
Prozent
|
86.3
|
86.3
|
86.2
|
86.3
|
86.3
|
Für 2223 von 2576, also 86.3 Prozent, der untersuchten
reell quadratischen Grundkörper K
mit Diskriminante 0 < d < 107
und elementar-abelscher bizyklischer 3-Klassengruppe Syl3Cl(K) vom Typ (3,3)
endet der Turm der unverzweigten (Hilbertschen) 3-Klassenkörper K < K1 < K2 ≤ …
bei der zweiten Stufe mit K2.
Der 3-Klassenkörperturm ist mit Gewissheit 2-stufig für die
Grundkörper mit den folgenden triadischen Kapitulationsarten:
a.2 (1000) im Grundzustand, a.3* (2000) mit ε = 1, a.3 (2000) im Grundzustand, D.5 (4224), D.10 (2241).
|
c) Zusammenfassung von statistischen Ergebnissen für die zweite 3-Klassengruppe G = Gal(K2|K)
Die zweite 3-Klassengruppe G=Gal(K2|K) ist eine metabelsche 3-Gruppe der
Ordnung |G| = 3n und Klasse cl(G) = m-1 mit einer Isomorphie-Invariante e = n-m+2.
e-1 ist die Anzahl aller bizyklischen Faktoren Gi/Gi+1 (1 ≤ i ≤ m-1)
in der absteigenden Zentralreihe von G.
Unter den 2576 untersuchten reell quadratischen Körpern K ist die zweite 3-Klassengruppe G
- von maximaler Klasse, e = 2, für den dominierenden Teil
von 2303 Körpern (89.4%) mit Kapitulationsarten
a.1 (0000) für 150 Körper
d = 62501,152949,252977,358285,531437,586760,595009,726933,
801368,940593,966489,1177036,1192780,1313292,1315640,1358556,
1398829,1463729,1580709,1595669,1722344,1751909,1831097,1942385,
2021608,2042149,2076485,2185465,2197669,2314789,2409853,2433221,
2539129,2555249,2710072,2851877,2954929,3005369,3197864,3197944,
3258120,3323065,3342785,3644357,3658421,3692717,3721565,3799597,
3821244,3869909,3995004,4045265,4183205,4196840,4199901,4220977,
4233608,4252837,4409313,4429612,4533032,4586797,4662917,4680701,
4766309,4782664,4783697,4965009,5039692,5048988,5111669,5119637,
5154385,5226941,5337341,5350569,5353240,5362136,5400712,5478321,
5827564,5891701,5909217,5982269,6105693,6155861,6337340,6429997,
6618085,6658973,6792365,6806152,6882737,6927452,6953513,6974609,
7010133,7019717,7075740,7263365,7313928,7391212,7406249,7415841,
7447697,7502501,7601081,7623320,7630645,7634065,7643993,7683308,7704653,7713961,
7804828,7936316,8037645,8101277,8235965,8248953,8263020,8320764,
8375228,8501541,8523385,8578617,8623704,8637717,8674397,8723237,8737913,
8748764,8816389,8957485,8993409,9006397,9051665,9058892,9130973,
9185153,9195769,9328597,9379849,9380744,9419704,9511580,9615813,
9645393,9801773,9834557,
a.1 ↑ (0000) im 1. angeregten Zustand für einen einzigen Körper d = 2905160,
a.2 (1000) oder a.3 (2000) für 1382 Körper,
a.2 ↑ (1000) oder a.3 ↑ (2000) im 1. angeregten Zustand für 72 Körper
d = 494236,790085,1011356,1018337,1490653,1552204,1741080,1766209,
2099101,2541736,2595065,2683432,2725861,2853373,2969612,3606888,
3684380,4202616,4295037,4297672,4386533,4563496,5003085,5015805,
5289016,5300265,5329749,5542552,5698952,6024821,6147676,6207733,
6389020,6397945,6408553,6455913,6508156,6558305,6747404,7064133,
7077020,7273797,7406277,7482353,7517621,7528828,7627009,7844520,
8003741,8183381,8365336,8404536,8554952,8558680,8582249,8673069,
8708613,8818505,8878981,8914888,8922101,9010828,9139820,9531233,
9531752,9551512,9644761,9697301,9703877,9720152,9770989,9952745,
a.3* (2000) mit ε = 1 für 698 Körper,
- von fast-maximaler Klasse, e = 3, für 260 Körper (10.1%) mit Kapitulationsarten
c.18 (0313) für 28 Körper
d = 534824,1030117,2661365,2733965,3194013,3259597,3268781,
3928632,4006033,4593673,5180081,5250941,5327080,5489661,5909813,
6115852,6290549,7102277,7712184,7738629,7758589,7857048,7943761,
8243113,8747997,8899661,9583736,9907837,
c.21 (0231) für 25 Körper
d = 540365,945813,1202680,1695260,1958629,3018569,3236657,3687441,
4441560,5512252,5571377,5701693,6027557,6049356,6054060,6274609,
6366029,6501608,6773557,7573868,8243464,8251521,9054177,9162577,
9967837,
c.21 ↑ (0231) im 1. angeregten Zustand für 2 Körper d = 1001957,9923685,
D.5 (4224) für 47 Körper
d = 631769,835853,859064,1013737,1027436,1185661,1640053,1918137,
2071509,2134129,2532085,3747880,3930357,3973817,4015705,4170664,
4369768,4788741,4895112,5070193,6037005,6070721,6196988,6342445,
6615309,7235773,7442897,7531593,7664845,7672472,7785965,8193724,
8327597,8568161,8633045,8756024,8857288,8909633,9188033,9303861,
9314140,9383309,9405985,9633965,9714921,9849557,9922641,
D.10 (2241) für 93 Körper
d = 422573,502796,575729,626411,810661,1399708,1535357,1580017,
1617960,1680668,1717349,1831640,1879621,1977305,2185789,2331641,
2366049,2382092,2557537,2588381,2592044,2630732,2840613,3036869,
3100956,3209180,3264636,3282637,3325609,3337909,3636221,3690268,
3764857,3871304,4152181,4241361,4251724,4305957,4439932,4486793,
4747721,4791349,4996597,5016917,5047816,5049457,5313052,5338461,
5361461,5649097,5702984,5848061,5893241,5919485,5955641,6017749,
6036188,6163144,6233116,6245036,6595773,6649240,6703384,6704141,
6860024,7231685,7304941,7310585,7312040,7526744,7577436,7739404,
7890508,7893493,8018616,8143617,8274092,8311756,8429397,8648297,
8710216,8789577,8825720,8974001,9120921,9174581,9377149,9438413,
9652088,9670821,9749393,9863537,9874401,
E.6 (1313) oder E.14 (2313) für 7 Körper
d = 3918837,5264069,6946573,7153097,8897192,9433849,9991432,
E.8 (1231) oder E.9 (2231) für 14 Körper
d = 342664,1452185,1787945,4760877,4861720,5976988,6098360,6652929,
7100889,7358937,8079101,8632716,9129480,9674841,
G.16 (4231) für 2 Körper d = 8711453,9448265,
G.19 (2143) für 11 Körper
d = 214712,943077,1618493,2374077,3472653,4026680,4628117,5858753,
6405317,7176477,7582988,
H.4 (4443) für 27 Körper
d = 957013,1571953,1734184,2023845,2303112,2852733,3409817,3517689,
3856685,4025909,4425229,4785845,4945973,5090485,5562969,6318733,
6418369,6469817,6526680,6775224,6895612,7123493,7762296,8040029,
8070637,8369468,9419261,
H.4 ↑ (3313) im 1. angeregten Zustand für 4 Körper d = 1162949,2747001,3122232,4074493,
- von niedrigerer als fast-maximaler Klasse, e = 4, für 13 Körper (0.5%) mit Kapitulationsarten
b.10 (0043) für 8 Körper
d = 710652,3492604,3800753,4417564,8132381,8182129,9884677,9971821,
d.19 (4043) für einen einzigen Körper d = 2328721,
d.23 (1043) für einen einzigen Körper d = 1535117,
d.25* (0143) für einen einzigen Körper d = 8491713,
F.13 (3143) für einen einzigen Körper d = 8321505,
F.13 ↑ (3143) im 1. angeregten Zustand für einen einzigen Körper d = 8127208.
Damit ist für jede Kapitulationsart mindestens ein konkretes Beispiel bekannt,
entweder mit komplex- oder reell-quadratischem Grundkörper.
Die Kapitulationsarten F.13 ↑, F.13, d.25* und G.16
traten erst im Diskriminantenbereich 8*106 < d < 9*106 auf.
Ich möchte noch hervorheben, dass es für Fundamentaldiskriminanten 0 < d < 107
nur sehr wenige total reelle kubische Zahlkörper mit 3-Klassenzahl 27 gibt:
es tritt je einer mit d = 1001957,2905160,8127208,8491713,9923685 auf,
und zwar mit den Kapitulationsarten c.21 ↑, a.1 ↑, F.13 ↑ und d.25*.
|
Mein neuer Top Down Capitulation Algorithm hat sich bei der Fortsetzung des
"Real Capitulation Project"
hervorragend bewährt, weil er in vollständig automatisierter Form
als PARI / GP - Skript implementiert wurde
und die Diskriminanten-Bereiche
106 < d < 1.5*106 und 1.5*106 < d < 2*106
bzw. 2*106 < d < 3*106, 3*106 < d < 4*106
und 4*106 < d < 5*106
bzw. 5*106 < d < 6*106, 6*106 < d < 7*106,
7*106 < d < 8*106, 8*106 < d < 9*106
und 9*106 < d < 10*106
in den eklatant kürzeren Zeiten von jeweils 7 bis 12 bzw. 14 bis 24 bzw. 28 bis 47 Minuten (je nach Rechner) bewältigte
als der praktisch nicht automatisierbare Scholz-Taussky-Algorithmus jeden der beiden niedrigeren Bereiche
0 < d < 500000 und 500000 < d < 106.
Der einzige kleine Nachteil, dass einige nahe verwandte Kapitulationsarten nicht getrennt werden können
und dass im allgemeinen nur der S4-Orbit der Kapitulationsart bestimmbar ist,
hat auf die statistische Auswertung wichtiger Tendenzen, wie ich soeben gezeigt habe, keinerlei Einfluss.
|
|
