2008 Year of Mathematics

Statistik der quadratischen Ordnungen

mit Radikand d = 21 (mod 36) und

regulär verzweigtem Führer f = 3 bzw. f = 9

im Diskriminantenbereich zwischen 0 und 100000

Statistik der Einheiten-Indizes bezüglich des Führers f = 3
Einheiten-IndexAbsolute HäufigkeitRelative HäufigkeitMinimal-Diskriminante
3179170.6221
174529.3893
Gesamt2536100.0021
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Statistik der Einheiten-Indizes bezüglich des Führers f = 9
Einheiten-IndexAbsolute HäufigkeitRelative HäufigkeitMinimal-Diskriminante
9179170.6221
349219.4093
12539.98417
Gesamt2536100.0021
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Obwohl f = 9 für Radikanden d = 3 (mod 9) kein 3-zulässiger Führer ist,
zeigt der tatsächlich auftretende Wert 1 des Einheitengruppenindex,
dass der 3-Ringklassenkörper modulo 9 von K, F9(K), in diesen Fällen
zwar keine zusätzlichen absolut kubischen Teilkörper enthält
aber immerhin eine nicht zerfallende Erweiterung von F3(K)|F1(K),
also des 3-Ringklassenkörpers modulo 3 von K, F3(K)
über dem Hilbertschen 3-Klassenkörper von K, F1(K), bildet.
Die Automorphismengruppe Gal(F9(K)|F1(K)) = C9 ist also zyklisch von der Ordnung 9.
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Für Radikanden d = 21 (mod 36) treten mittlere Periodenlängen der Kettenbruchentwicklung auf.
Der HiChamp (High Champion) unter diesem Aspekt ist der Radikand d = 90561
mit einer Periodenlänge = 466 und einem Regulator ~ 526.
Die Grundeinheit als Zeichenkette (String) besitzt eine Länge von 458 Charakteren.


Referenzen:

[1] Daniel C. Mayer,
Lattice minima and units in real quadratic number fields,
Publicationes Mathematicae Debrecen
39 (1991), 19-86.

[2] Daniel C. Mayer,
Multiplicities of dihedral discriminants,
Mathematics of Computation
58 (1992), no. 198, 831-847,
and Supplements section S55-S58.

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