2008 Year of Mathematics

Statistik der quadratischen Ordnungen

mit Radikand d = 3 (mod 36) und

regulär verzweigtem Führer f = 3 bzw. f = 9

im Diskriminantenbereich zwischen 0 und 400000

Statistik der Einheiten-Indizes bezüglich des Führers f = 3
Einheiten-IndexAbsolute HäufigkeitRelative HäufigkeitMinimal-Diskriminante
3174769.3512
177230.65732
Gesamt2519100.0012
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Statistik der Einheiten-Indizes bezüglich des Führers f = 9
Einheiten-IndexAbsolute HäufigkeitRelative HäufigkeitMinimal-Diskriminante
9174769.3512
352320.761308
12499.88732
Gesamt2519100.0012
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Obwohl f = 9 für Radikanden d = 3 (mod 9) kein 3-zulässiger Führer ist,
zeigt der tatsächlich auftretende Wert 1 des Einheitengruppenindex,
dass der 3-Ringklassenkörper modulo 9 von K, F9(K), in diesen Fällen
zwar keine zusätzlichen absolut kubischen Teilkörper enthält
aber immerhin eine nicht zerfallende Erweiterung von F3(K)|F1(K),
also des 3-Ringklassenkörpers modulo 3 von K, F3(K)
über dem Hilbertschen 3-Klassenkörper von K, F1(K), bildet.
Die Automorphismengruppe Gal(F9(K)|F1(K)) = C9 ist also zyklisch von der Ordnung 9.
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Für Radikanden d = 3 (mod 36) treten moderate Periodenlängen der Kettenbruchentwicklung auf.
Der HiChamp (High Champion) unter diesem Aspekt ist der Radikand d = 98751
mit einer Periodenlänge = 270 und einem Regulator ~ 308.
Die Grundeinheit als Zeichenkette (String) besitzt eine Länge von 268 Charakteren.


Referenzen:

[1] Daniel C. Mayer,
Lattice minima and units in real quadratic number fields,
Publicationes Mathematicae Debrecen
39 (1991), 19-86.

[2] Daniel C. Mayer,
Multiplicities of dihedral discriminants,
Mathematics of Computation
58 (1992), no. 198, 831-847,
and Supplements section S55-S58.

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