Zahlkörper vom 5. Absolutgrad

und die Galois-Gruppen ihrer Normalkörper

Bezeichnungen:

Algebraische Zahlkörper des 5. Absolutgrades über dem Körper Q der rationalen Zahlen werden als quintische Zahlkörper bezeichnet. Sie treten mit 3 möglichen Signaturen (r,s) auf, wobei r die Anzahl der reellen Einbettungen und s die Anzahl der Paare konjugiert komplexer Einbettungen bezeichnet: als total (fünffach) reelle Körper der Signatur (5,0) oder gemischte dreifach reelle Körper der Signatur (3,1) oder gemischte einfach reelle Körper der Signatur (1,2).

Schritte der systematischen Untersuchung:

• 1955, H.Cohn: vollständige Listen kleiner quintischer Diskriminanten für alle Signaturen und erzeugende Polynome.
• 1957, J. Hunter: minimale quintische Diskriminante für jede Signatur: +14641, -4511, +1649; Erweiterung der Listen von Cohn.
• 1974, P. Cartier und Y. Roy: Körper in den Listen von Cohn mit übereinstimmender Diskriminante sind isomorph.
• 1982, D. G. Rish: vollständige Tafeln von einfach und dreifach reellen quintischen Körpern.
• 1984, K. Takeuchi: alle total reellen Körper 5. Grades mit Diskriminanten d < 150000 (insgesamt 21 Körper).
• 1991, F. Diaz y Diaz: [1] Tabelle der 1077 total reellen quintischen Körper mit einer Diskriminante d < 2000000; Untersuchung der 5 möglichen Galois-Gruppen des Normalkörpers.
  Entdeckung von 2 Irrtümern bei Takeuchi: Es gibt keine quintischen Körper mit Diskriminante d = 107653 bzw. 146205, weil die angeführten Polynome über Q reduzibel sind.
  

  Entdeckung von 2 Diskriminanten d der Multiplizität m = 2: Es gibt je 2 nicht isomorphe S5-Körper mit d = 1810969 bzw. 1891377. Dafür fehlt bisher jegliche theoretische Erklärung.

• 1994, A. Schwarz, M. Pohst und F. Diaz y Diaz: [2] Tabellen quintischer Körper mit Diskriminanten d < 20000000 für Signatur (5,0), d > -5000000 für Signatur (3,1) und d < 5000000 für Signatur (1,2); Verteilung der 5 möglichen Automorphismen-Gruppen des Normalkörpers.

• 1998, M. Pohst und K. Wildanger: [3] Grundeinheiten, Regulatoren, Ordnung und Struktur der Idealklassengruppen aller Körper der Tabelle von 1994; Statistik der auftretenden Klassengruppen-Strukturen.

Galois-Gruppen und Statistik:

Die folgende Tabelle zeigt die Population der 5 möglichen Galois-Gruppen des Normalkörpers von total reellen quintischen Körpern:

• C₅ die zyklische Gruppe der Ordnung 5,
• D₅ die Dieder-Gruppe der Ordnung 10, das semidirekte Produkt von C₂ mit dem Normalteiler C₅,
• M₅ die metazyklische Gruppe der Ordnung 20, das semidirekte Produkt von C₄ mit dem Normalteiler C₅, oft auch als Aff₅ oder Hol(C₅) bezeichnet,
• A₅ die alternierende Gruppe der Ordnung 60,
• S₅ die symmetrische Gruppe der Ordnung 120.

Nach dem Satz von N. H. ABEL sind die letzten beiden Gruppen nicht auflösbar. Das primitive Element der entsprechenden quintischen Körper läßt sich daher über Q nicht durch Radikale darstellen.

Die zyklischen und diedralen Fälle waren aus meiner Tabelle [4] schon seit 1991 bekannt:

Die 5 zyklischen quintischen Körper besitzen die Führer f = 11, 25, 31, 41 und 61. Die nächsten wären 71, 101, 131, et c.

Für die 26 quintischen Körper mit diedralem Normalkörper N vom Grade 10 ist die zyklische quintische Relativerweiterung N | k von N über dessen quadratischem Teilkörper k ausnahmslos unverzweigt mit Führer f = 1. Die zugeordneten quadratischen Diskriminanten d(k) erstrecken sich von 401, 817, et c. bis 4441, 4444. (Das sind die minimalen quadratischen Diskriminanten mit 5-Klassenrang r = 1.) Die nächsten wären 4504, 4757, 4865, et c. Die kleinsten verzweigten Fälle liegen schon oberhalb der Schranke 20000000: sie besitzen den Führer f = 5 und zugeordnete quadratische Diskriminanten d(k) = 185, 280, 460, 520, et c. (kongruent 0 modulo 5).

Interessant ist ein Vergleich der Resultate für total reelle quintische Diskriminanten mit den Ergebnissen aus [3] für die wesentlich dichter liegenden quintischen Diskriminanten der gemischten Signaturen:

Die nicht auflösbaren S₅-Strukturen sind also bei allen Signaturen quintischer Zahlkörper extrem dominierend.

Unter den 81 metazyklischen Körpern der Signatur (1,2) kommen gemäß meiner Theorie in [5] nur 8 reine quintische Körper vor:

• d=50000 (Radikand R=2),
• d=162000 (R=2*9),
• d=253125 (R=3),
• d=300125 (R=7),
• d=1953125 (R=5),
• und ein Triplett nicht isomorpher quintischer Körper mit übereinstimmender Diskriminante d=4050000 für R=2*3, 4*3, 16*3.

Literatur:

• [1] F. Diaz y Diaz, A table of totally real quintic number fields, Math. Comp. 56 (1991), 801-808 and Supplements section S1-S12
• [2] A. Schwarz, M. Pohst und F. Diaz y Diaz, A table of quintic number fields, Math. Comp. 63 (1994), 361-376
• [3] M. Pohst und K. Wildanger, Tables of unit groups and class groups of quintic fields and a regulator bound, Math. Comp. 67 (1998), 361-367
• [4] D. C. Mayer, List of discriminants d_L < 4 * 10¹⁰ of totally real quintic fields L, cyclic or with dihedral normal closure N of degree 10, arranged according to their multiplicities m and conductors f, 1991, Dept. of Comp. Sci., Univ. of Manitoba
• [5] D. C. Mayer, Discriminants of metacyclic fields, Canad. Math. Bull. 36(1) (1993), 103-107

Die Berechnungen in [3] wären ohne das Paket KANT von POHST A.M.T. undenkbar gewesen.

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