Anwendung von Hilberts Satz 90 auf kubische Körper


Der Normalkörper N eines nicht Galoisschen kubischen Körpers K ist über seinem quadratischen Teilkörper k zyklisch vom Primzahl-Grad [ N : k ] = 3. Eine Grundeinheit e in der von allen normpositiven Teilkörpereinheiten von N erzeugten Untergruppe E0 von EN|k ("Alteinheiten" in der Terminologie von A. Scholz) kann also nach Hilberts Satz 90 [1] ) als Quotient von relativ Konjugierten einer ganzen Zahl von N dargestellt werden. Für die Beschaffenheit dieser ganzen Zahl von N gibt es nun mehrere Möglichkeiten (vgl. [2] ):

e = A1-S e = B1-S e = E1-S e = H1-S e = Z1-S
(A) = a (B) = L1-T E in EN|k Nk(H) = eta Nk(Z) = zeta


In den ersten beiden Fällen kann die Grundeinheit e des kubischen Körpers K ausschließlich mit einer Nichteinheit X als Quotient e = X1 - S von relativ Konjugierten aus dem Normalkörper N dargestellt werden.

1. e = A1 - S mit einer Nichteinheit A von N, deren Hauptideal (A) = a Erweiterungsideal eines Ideales a von k ist aber keines Hauptideals von k (ausführlicher: AON = aON mit der Hauptordnung ON von N). Gemäß einer Definition von Moriya gehört dann e zur Gruppe E1 der Relativeinheiten 1. Art von N | k und das Hauptideal (A) = a liegt im Kapitulationskern PN * Ik / Pk von N | k. (* bezeichnet den Durchschnitt)

2. e = B1 - S mit einer Nichteinheit B von N, deren Hauptideal (B) = L1 - T in ganz charakteristischer Weise aus den Primoberidealen L1,L1T,...,Ls,LsT von N der endlich vielen Primideale l1,...,ls von K zusammengesetzt ist, die in N | K zerfallen und die Relativ-Differente von N | k teilen: L ist ein gewisses Produkt dieser Primoberideale und ihrer Quadrate. Das Hauptideal (B) = L1 - T liegt also in der Gruppe DN|k-Ik / Ik der relativ ambigen Hauptideale von N | k und somit im Kern der Norm von N | K. Dabei erklären wir DN|k- = PN * < L11 - T,...,Ls1 - T >. (* bezeichnet den Durchschnitt)


In den letzten drei Fällen läßt sich die Grundeinheit e des kubischen Körpers K mit einer Einheit Y als Quotient e = Y1 - S von relativ Konjugierten aus dem Normalkörper N darstellen.

3. e = E1 - S mit einer Relativeinheit E von N | k. Dann ist e = a3 / N(a) mit einem absolut ambigen Hauptideal (a) von K aus der Gruppe PKG / PQ, wobei G = < S >. Die Relativeinheit E selbst könnte in diesem Fall etwa eine Darstellung der Form E = b1 - S mit der Nichteinheit b = 1 / S2(a) haben.

4. e = H1 - S mit einer Einheit H, welche die Grundeinheit von k als Norm N(H) = eta besitzt, wenn k reell quadratisch und daher K total reell kubisch ist. Somit kann weder e einen Beitrag zur Erzeugung von EN|k modulo UN1 - S leisten, weil e in UN1 - S liegt, noch H, weil H keine Relativeinheit ist.

5. e = Z1 - S mit einer Einheit Z mit Norm N(Z) = zeta, die primitive 3. Einheitswurzel des zyklotomischen Körpers k = Q(zeta) im Fall eines reinen kubischen Körpers K. Auch hier kann weder e einen Beitrag zur Erzeugung von EN|k modulo UN1 - S beisteuern, weil e in UN1 - S liegt, noch Z, weil Z keine Relativeinheit ist.


Literatur: