Beziehungen zwischen kubischen und dualen quadratischen Körpern

Der Spiegelungssatz von Arnold Scholz


Arithmetische Begriffsbildung:

Wir nennen zwei quadratische Zahlkörper k1 und k2 mit Diskriminanten d1 und d2 zueinander dual oder ein duales Paar, wenn entweder d1 = -3d2 oder d2 = -3d1 (also d1 = -d2/3) ist.

Jeweils einer von zwei dualen quadratischen Körpern ist reell (jener mit der positiven Diskriminante), der andere hingegen imaginär. Da ferner die Diskriminanten von quadratischen Körpern (allenfalls bis auf ihren 2er-Potenz-Anteil) quadratfrei sind, ist dabei eine Diskriminante durch 3 teilbar, die andere hingegen nicht.

Die Gesamtheit aller quadratischen Zahlkörper ist bis auf eine einzige Ausnahme die disjunkte Vereinigung aller dualen Paare. Ein entarteter Sonderfall ist lediglich der imaginäre quadratische Körper k0 = Q(zeta) mit der Diskriminante d = -3, also der zyklotomische Körper (Kreisteilungskörper) der 3. Einheitswurzeln zeta = (-1+(-3)1/2)/2 und zeta2 = (-1-(-3)1/2)/2, der zu sich selbst dual ist. Seine duale Diskriminante ist formal d' = 1, aber diese gehört nicht zu einem quadratischen sondern zum rationalen Zahlkörper Q.


Körpertheoretischer Hintergrund:

Jedes duale Paar (k,k') erzeugt durch Bildung des Kompositum B = k*k' einen bizyklischen quartischen Zahlkörper B, also einen Galois'schen Körper mit der Automorphismengruppe C(2)xC(2). Diese elementar-Abel'sche 2-Gruppe vom Rang 2 (die KLEIN'sche Vierergruppe) besitzt genau drei zyklische Untergruppen, von denen zwei unter der GALOIS-Korrespondenz den Zwischenkörpern k und k' entsprechen, die dritte hingegen stets dem zyklotomischen Körper k0 mit der Diskriminante d=-3, der also gewissermaßen die Spiegelungs-Achse zwischen k und k' bildet. Die Situation wird durch ein Körper-Diagramm veranschaulicht.


Der Spiegelungs-Satz von Arnold SCHOLZ:

Wendet man auf die Konstituenten k und k' eines dualen Paares (k,k') einerseits die Klassenkörpertheorie [2] (die ARTIN-Korrespondenz zwischen Untergruppen der 3-elementaren Idealklassengruppe von k und unverzweigten zyklischen kubischen Erweiterungen von k, bzw. analog für k') Portrait: Scholz an und andererseits die KUMMER-Theorie [3] (die KUMMER-Korrespondenz zwischen Untergruppen der 3-Radikandengruppe von k' und zyklischen kubischen Oberkörpern von k, bzw. analog für k und k') unter Miteinbeziehung von Aussagen über die essentiellen Ideale [3,5,6] und den 3-primären Charakter von Idealkuben-Zahlen [3,4], so gewinnt man einen bemerkenswert einfachen Zusammenhang zwischen den 3-Klassenrängen rho und rho' von k und k', der als Spiegelungs-Satz von SCHOLZ [1] bezeichnet und durch die folgenden dynamischen Diagramme veranschaulicht wird.

Bemerkungen zu den dynamischen Diagrammen:

In diesen Diagrammen bezeichnen wir die 3-Klassenränge kurz mit r,r' statt mit rho,rho'. Im komplexen quadratischen Körper k sind a1,...,ar die mit erzeugenden Idealklassen der Ordnung 3 assoziierten Idealkuben-Zahlen. Im reellen quadratischen Körper k' sind a'1,...,a'r' die mit erzeugenden Idealklassen assoziierten Idealkuben-Zahlen, zu denen hier noch die Grundeinheit e von k' als weitere Idealkuben-Zahl hinzukommt. Jede der n(r) = ( 3r - 1 ) / 2 zyklischen Untergruppen der zur 3-Klassengruppe von k isomorphen Gruppe < a1,...,ar > erzeugt gemäß Klassenkörpertheorie bzw. KUMMER-Theorie eine zyklische kubische Relativerweiterung Ni von k bzw. N'i von k', wobei also i = 1,...,n(r). Und jede der n(r') = ( 3r' - 1 ) / 2 zyklischen Untergruppen der zur 3-Klassengruppe von k' isomorphen Gruppe < a'1,...,a'r' > erzeugt gemäß Klassenkörpertheorie eine zyklische kubische Relativerweiterung N'i von k', wobei i = 1,...,n(r'). Schließlich erzeugt jede der n(r' + 1) = ( 3( r' + 1 ) - 1 ) / 2 zyklischen Untergruppen der Idealkuben-Zahlen-Gruppe < a'1,...,a'r', e > von k' gemäß KUMMER-Theorie eine zyklische kubische Relativerweiterung Ni von k, wobei i = 1,...,n(r' + 1). Von den zyklischen kubischen Relativerweiterungen sind alle unverzweigt mit Führer f = 1, bis auf jene, die von der eindeutig bestimmten nicht primären Idealkuben-Zahl unter a1,...,ar,a'1,...,a'r',e abhängen. Diese sind verzweigt mit Führer f = 3 oder 9.


Bemerkungen zu den Minimaldiskriminanten mit gewissen Klassenrangkonfigurationen:

Der Fall, dass sich die 3-Klassenränge im Spiegelungssatz von SCHOLZ um eine Einheit unterscheiden, also r = r' + 1, wird als eskalatorisch bezeichnet, wenngleich er statistisch weitaus häufiger vorkommt. Die nicht primäre Idealkuben-Zahl liegt dann im quadratischen Körper k mit der negativen Diskriminante d und wird durch Unterstreichen gekennzeichnet. Die von ihr abhängigen Normalkörper der total reellen kubischen Körper mit der Diskriminante d'* = f2 d', wobei f = 3 für 3 | d' und f = 9 sonst, werden durch Überstreichen hervorgehoben. Im nicht eskalatorischen, statistisch viel selteneren Fall mit identischen 3-Klassenrängen r = r' liegt die nicht primäre Idealkuben-Zahl im quadratischen Körper k mit der positiven Diskriminante d'. Ich unterstreiche dann immer die Grundeinheit e als nicht primär, obwohl ich nicht nachgewiesen habe, dass dies korrekt ist und alle anderen Idealkuben-Zahlen primär sind. Für die Struktur spielt diese Frage keine Rolle. Die von der nicht primären Idealkuben-Zahl abhängigen Normalkörper der komplexen kubischen Körper mit der Diskriminante d* = f2 d, wobei f = 3 für 3 | d und f = 9 sonst, werden wieder durch Überstreichen hervorgehoben.


Literatur:


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