Scientific Research 2010



Exotic 3-Class Groups of Type (3,3,3)

and New Criteria for Principalization Types


Durch Vergleich des großen und der vier kleinen zweistufigen 3-Klassenkörpertürme,
K < Ni < K1 < K2 bzw. K < Ni < K1 < (Ni)1,
eines beliebigen Grundkörpers K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (3,3)
kommt man unter Verwendung eines Ergebnisses von N. Blackburn [Bl] zur folgenden grundlegenden Erkenntnis:
Normalerweise sind die 3-Klassengruppen Cl3(Ni)
der vier unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörper Ni (mit i = 1,...,4) des Grundkörpers K
fast-homogene abelsche 3-Gruppen A(3,u+v) vom Typ (3u,3v),
isomorph zu einem direkten Produkt von genau zwei nicht trivialen zyklischen 3-Gruppen,
deren Ordnungen entweder gleich sind (u = v) oder sich höchstens um den Faktor 3 unterscheiden (u = v+1).


Das Wort "normalerweise" wird dabei durch die folgenden Sätze präzisiert,
in denen G die große Automorphismengruppe Gal(K2|K) und Γi (i = 1,...,4) die kleinen Gruppen Gal((Ni)1|K),
also metabelsche 3-Gruppen mit Kommutatorfaktorgruppe vom Typ (3,3), bezeichnet:

Satz 1.
Ist G von der Ordnung |G| = 3n und von maximaler Klasse cl(G) = m-1 mit n = m ≥ 3,
dann sind die 3-Klassengruppen der vier unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörper Ni (i = 1,...,4) von K gegeben durch:
Cl3(N1) ≅ A(3,m-1), falls [χ2(G),G'] = 1 und m ≥ 5,
Cl3(N1) ≅ A(3,m-2), falls [χ2(G),G'] = Gm-1 und m ≥ 6,
Cl3(Ni) ≅ A(3,2) für 2 ≤ i ≤ 4, falls m ≥ 4.


Satz 2.
Ist G von der Ordnung |G| = 3n und von nicht-maximaler Klasse cl(G) = m-1
mit 4 ≤ m < n ≤ 2m-3 und e = n - m + 2 ≥ 3,
dann sind die 3-Klassengruppen der vier unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörper Ni (i = 1,...,4) von K gegeben durch:
Cl3(N1) ≅ A(3,m-1), falls [χs(G),Ge] = 1 und m ≥ 5,
Cl3(N1) ≅ A(3,m-2), falls [χs(G),Ge] = Gm-1 und m ≥ 6,
Cl3(N2) ≅ A(3,e), falls e ≥ 4,
Cl3(Ni) ≅ A(3,3) für 3 ≤ i ≤ 4, falls nicht Γi ≅ Syl3A9.


In beiden Sätzen ist es wesentlich, dass die vier unverzweigten zyklisch kubischen Relativerweiterungen Ni|K
in einer festen (noch näher zu erläuternden) Reihenfolge angeordnet sind.

Mehrere Autoren, nämlich insbesondere
A. Scholz [So], H. Kisilevsky [Ki], F.-P. Heider und B. Schmithals [HeSm] und J. R. Brink [Br]
haben jedoch auf die theoretische Möglichkeit hingewiesen, dass als 3-Klassengruppe Cl3(Ni)
der unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörper Ni (mit i = 1,...,4) eines quadratischen bzw. beliebigen Grundkörpers K
auch die elementar-abelsche 3-Gruppe von der Ordnung 33 = 27, also vom Typ (3,3,3), auftreten kann.

Ich nenne eine solche 3-Klassengruppe exotisch.


Leider fand man bisher in der Literatur kein einziges konkretes numerisches Beispiel mit exotischer 3-Klassengruppe,
geschweige denn allgemeine Kriterien für das systematische Auftreten exotischer 3-Klassengruppen.
Es war also vorerst vollkommen unbekannt,
  • ob exotische 3-Klassengruppen wirklich praktisch vorkommen,
  • ob ihr Auftreten sporadisch oder stochastisch (zufällig) ist,
  • oder ob sie deterministisch nach festen Regeln in Erscheinung treten.


Ich habe nun diese Fragestellungen systematisch analysiert und bin unter Verwendung der Erzeugenden und Relationen
von B. Nebelung [Ne] zu dem erfreulichen Resultat gekommen,
dass exotische 3-Klassengruppen nach ganz strengen Regeln mit den triadischen Kapitulationsarten verknüpft sind.


Damit ergeben sich ungeahnte und völlig neuartige algorithmische Möglichkeiten
zur Bestimmung der triadischen Kapitulationsarten zumindest von quadratischen Grundkörpern
ohne Verwendung des Algorithmus von A. Scholz und O. Taussky [SoTa].
Stattdessen wird man die 3-Klassengruppen von Zahlkörpern 6. (und in gewissen Fällen auch 18.) Grades
mit einem Computer-Algebra-System wie PARI, MAGMA oder KANT (bzw. KASH) berechnen müssen.


Ich gebe die Regeln in der folgenden Zusammenstellung zunächst nur für
Grundzustände und niedrige angeregte Zustände (↑ und ↑↑) bzw. reguläre und irreguläre Varianten (rV und iV) an.
Dabei ist es wesentlich, dass die vier unverzweigten zyklisch kubischen Relativerweiterungen Ni|K
in einer festen (noch näher zu erläuternden) Reihenfolge angeordnet sind.


Es erübrigt sich beinahe, darauf hinzuweisen, dass wir mit der untenstehenden Tabelle
in Verbindung mit meinen umfangreichen Beispielen für triadische Kapitulationsarten
einen schier unerschöpflichen Vorrat an konkret angebbaren exotischen 3-Klassengruppen haben.


Die neuen Regeln für Kapitulationsarten von 3-Klassen
Nummer 3-Klassengruppe von Kapitulations-
der Regel K L1 L2 L3 L4 N1 N2 N3 N4 K1 Art
Maximale Klasse (1)
0 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000) oder a.3 (2000)
1 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
Maximale Klasse (2)
2 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (3,3) (3,3) (3,3) (9,9) a.1 (0000)
3 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (3,3) (3,3) (3,3) (9,9) a.2 ↑ (1000) oder a.3 ↑ (2000)
4 (3,3) 27 3 3 3 (27,27) (3,3) (3,3) (3,3) (27,27) a.1 ↑ (0000)
Fast-maximale Klasse (1)
5 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
6 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.5 (4224)
7 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (9,3) (9,3) (3,3,3,3) G.19 (2143)
8 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Fast-maximale Klasse (2)
9 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,3,3) c.21 (0231)
10 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.8 (1231) oder E.9 (2231)
11 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (27,9,3) G.16 (4231)
12 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (9,3) (3,3,3) (9,3) (9,3,3) c.18 (0313)
13 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (3,3,3) (9,3) (9,9,3) E.6 (1313) oder E.14 (2313)
14 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (3,3,3) (9,3) (27,9,3) H.4 ↑ (3313)
Fast-maximale Klasse (3)
15 (3,3) 27 3 3 3 (27,27) (9,3) (9,3) (9,3) (27,9,3) c.21 ↑ (0231)
16 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (9,3) (9,3) (27,27,3) E.8 ↑ (1231) oder E.9 ↑ (2231)
17 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (9,3) (9,3) (81,27,3) G.16 ↑ (4231)
18 (3,3) 27 3 3 3 (27,27) (9,3) (3,3,3) (9,3) (27,9,3) c.18 ↑ (0313)
19 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (3,3,3) (9,3) (27,27,3) E.6 ↑ (1313) oder E.14 ↑ (2313)
20 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (3,3,3) (9,3) (81,27,3) H.4 ↑↑ (3313)
Niedrigere Klasse (1)
21 (3,3) 9 9 3 3 (9,9) (9,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,3,3) b.10 (0043)
22 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (9,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,3,3) d.19 (4043) od. d.23 (1043) od. d.25 (2043)
23 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,9,3) F.7 (3443) od. F.11 (1143) od. F.12 (1343) od. F.13 (3143)
24 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (27,9,9,3) G.16 rV (1243) od. G.19 rV (2143) od. H.4 rV (3343)
25 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,9,9) G.16 iV (1243) od. G.19 iV (2143) od. H.4 iV (3343)
Niedrigere Klasse (2)
26 (3,3) 27 9 3 3 (27,27) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (27,9,9,3) d.19* (0443) od. d.23* (0243) od. d.25* (0143)
27 (3,3) 27 9 3 3 (81,27) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (27,27,9,3) F.7 ↑ (3443) od. F.11 ↑ (1143) od. F.12 ↑ (1343) od. F.13 ↑ (3143)
28 (3,3) 27 9 3 3 (81,27) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (81,27,9,3) G.16 V ↑ (1243) od. G.19 V ↑ (2143) od. H.4 V ↑ (3343)
29 (3,3) 27 27 3 3 (81,27) (81,27) (3,3,3) (3,3,3) (27,27,27,9) F.7 V (3443) od. F.11 V (1143) od. F.12 V (1343) od. F.13 V (3143)


Einige dieser neuartigen Charakterisierungen von triadischen Kapitulationsarten bzw.
Kriterien für exotische 3-Klassengruppen lassen sich auch
invariant bezüglich der Operation der symmetrischen Gruppe S4 formulieren.
Es sei also K wieder ein quadratischer Grundkörper mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (3,3).

Definition.
Mit ε bezeichne ich die Anzahl #{ 1 ≤ i ≤ 4 | Cl3(Ni) ist exotisch vom Typ (3,3,3) }.

Satz 1.
1. Ist G von fast-maximaler Klasse, also e = 3 bzw. m = n-1,
und besitzen sämtliche absolut kubischen Körper Li die 3-Klassenzahl h3(Li) = 3,
dann sind genau die 3-Klassengruppen Cl3(Ni) von denjenigen
unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörpern Ni von K exotisch vom Typ (3,3,3),
deren Normklassengruppe NNi|KCl3(Ni) erst im Hilbertschen Klassenkörper K1 von K kapituliert.
2. Nur bei der Kapitulationsart H.4 ist noch zusätzlich die 3-Klassengruppe Cl3(Ni) von derjenigen
unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterung Ni von K exotisch vom Typ (3,3,3),
deren Normklassengruppe NNi|KCl3(Ni) in allen übrigen Erweiterungen Nj mit j ≠ i kapituliert.
3. Insbesondere ist
die Kapitulationsart G.19 mit Orbitvertreter (2143) gekennzeichnet durch ε = 0,
die Kapitulationsart D.10 mit Orbitvertreter (2241) durch ε = 1,
die Kapitulationsart D.5 mit Orbitvertreter (4224) durch ε = 2 und
die Kapitulationsart H.4 mit Orbitvertreter (4443) durch ε = 3.

Satz 2.
Ist G von fast-maximaler Klasse, also e = 3 bzw. m = n-1,
und besitzt der absolut kubische Körper L1 die 3-Klassenzahl h3(L1) ≥ 9,
dann muss zur Unterscheidung der Kapitulationsarten die Struktur von Cl3(K1) bestimmt werden.
1. Besitzt der absolut kubische Körper L1 die 3-Klassenzahl h3(L1) = 9,
dann ist Cl3(K1) vom Typ
(9,3,3) für die Kapitulationsart c.21 mit Orbitvertreter (0231), falls ε = 0,
(9,9,3) für die Kapitulationsarten E.8, E.9, falls ε = 0,
(27,9,3) für die Kapitulationsart G.16 mit Orbitvertreter (4231), falls ε = 0,
(9,3,3) für die Kapitulationsart c.18 mit Orbitvertreter (0313), falls ε = 1,
(9,9,3) für die Kapitulationsarten E.6, E.14, falls ε = 1,
(27,9,3) für die Kapitulationsart H.4 ↑ mit Orbitvertreter (3313), falls ε = 1.
2. Besitzt der absolut kubische Körper L1 die 3-Klassenzahl h3(L1) = 27,
dann ist Cl3(K1) vom Typ
(27,9,3) für die Kapitulationsart c.21 ↑ mit Orbitvertreter (0231), falls ε = 0,
(27,27,3) für die Kapitulationsarten E.8 ↑, E.9 ↑, falls ε = 0,
(81,27,3) für die Kapitulationsart G.16 ↑ mit Orbitvertreter (4231), falls ε = 0,
(27,9,3) für die Kapitulationsart c.18 ↑ mit Orbitvertreter (0313), falls ε = 1,
(27,27,3) für die Kapitulationsarten E.6 ↑, E.14 ↑, falls ε = 1,
(81,27,3) für die Kapitulationsart H.4 ↑↑ mit Orbitvertreter (3313), falls ε = 1.

Satz 3.
1. Ist G von niedrigerer als fast-maximaler Klasse, also e ≥ 4 bzw. m ≤ n-2,
dann sind genau die 3-Klassengruppen Cl3(Ni) von jenen beiden
unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörpern Ni von K exotisch vom Typ (3,3,3),
deren absolut kubische Teilkörper Li die 3-Klassenzahl h3(Li) = 3 besitzen.
Insbesondere ist dann ε = 2.
2. Zur Unterscheidung der Kapitulationsarten muss die Struktur von Cl3(K1) bestimmt werden:
(9,9,3,3) mit Cl3(N1) = (9,9) für die Kapitulationsart b.10 mit Orbitvertreter (0043),
(9,9,3,3) mit Cl3(N1) = (27,9) für die Kapitulationsarten d.19, d.23, d.25,
(9,9,9,3) für die Kapitulationsarten F.7, F.11, F.12, F.13,
(9,9,9,9) für die irreguläre Variante der Kapitulationsarten G.16, G.19, H.4,
(27,9,9,3) mit h3(L1) = 9 für die reguläre Variante der Kapitulationsarten G.16, G.19, H.4,
(27,9,9,3) mit h3(L1) = 27 für die Kapitulationsarten d.19*, d.23*, d.25*,
(27,27,9,3) für die Kapitulationsarten F.7 ↑, F.11 ↑, F.12 ↑, F.13 ↑,
(81,27,9,3) für die Variante der Kapitulationsarten G.16 ↑, G.19 ↑, H.4 ↑,
(27,27,27,9) für die Variante der Kapitulationsarten F.7, F.11, F.12, F.13.


References:

[Bl] Norman Blackburn,
On a special class of p-groups,
Acta Math. 100 (1958), 45 - 92.

[Br] James R. Brink,
The class field tower for imaginary quadratic number fields of type (3,3),
Dissertation, Ohio State Univ., 1984.

[HeSm] Franz-Peter Heider und Bodo Schmithals,
Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen,
J. reine angew. Math. 336 (1982), 1 - 25.

[Ki] Hershy Kisilevsky,
Some results related to Hilbert's theorem 94,
J. number theory 2 (1970), 199 - 206.

[Ne] Brigitte Nebelung,
Klassifikation metabelscher 3-Gruppen mit Faktorkommutatorgruppe vom Typ (3,3) und Anwendung auf das Kapitulationsproblem,
Inauguraldissertation, Univ. zu Köln, 1989.

[So] Arnold Scholz,
Idealklassen und Einheiten in kubischen Körpern,
Monatsh. Math. Phys. 40 (1933), 211 - 222.

[SoTa] Arnold Scholz und Olga Taussky,
Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper:
ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm,
J. reine angew. Math.171 (1934), 19 - 41.

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