Die Tabelle Komplexer Kubischer Körper von Fung

Die ersten Familien mit Vielfachheit größer als 4


Eine umfangreiche Doktoral-Dissertation

Im Jahr 1989 konstruierte G. W. Fung die bisher größte Tabelle von komplexen kubischen Körpern L mit Diskriminanten dL > -106 als Teil einer unter der Aufsicht von H. C. Williams verfassten Doktoral-Dissertation. [0] Er schickte mir am 19. Dezember 1989 ein Manuskript mit statistischen Ergebnissen im Bezug auf diese Tabelle. Eines der interessantesten Phänomene war das Auftreten von 7 Familien von Körpern mit der Vielfachheit 5. Ich bat Fung umgehend, mir die Diskriminanten und erzeugende Polynome dieser Körper mitzuteilen. Aber ich bekam diesbezüglich leider keine Rückmeldung. Das Fehlen numerischer Information zwang mich, eine detaillierte Untersuchung der Vielfachheiten von kubischen Diskriminanten zu beginnen.


Gibt es tatsächlich 5-Familien nicht reiner komplexer kubischer Körper?

Während der ersten Hälfte des Jahres 1990 entwickelte ich eine wesentlich verbesserte Version meines eigenen Algorithmus zur Berechnung komplexer kubischer Körper. Die ursprüngliche Version war das Werkzeug für die Konstruktion meiner Tabelle [1] komplexer kubischer Körper L mit Diskriminanten dL > -30000 und ihrer Hauptfaktorisierungs-Typen im August 1989 gewesen. Ich benützte den verbesserten Algorithmus, um diese Tabelle zu erweitern und einige 6-Familien zu extrahieren. Mittlerweile war Fungs Bericht [2] im Juli 1990 in "Mathematics of Computation" erschienen.

Am 30. August 1990 bekam ich die Gelegenheit, in Winnipeg City einen Blick in die Tabelle von Fung zu werfen. Ich hatte bloß etwa 5 Minuten in den 535 Seiten des sehr dicht und doppelseitig gedruckten Computer Output gestöbert und, hurra, da war sie: die erste 5-Familie mit dem kleinsten Diskriminanten-Betrag. Sie bestand aus 5 zyklischen kubischen Erweiterungen mit Führer f = 18 über dem quadratischen Körper mit der Diskriminante dK = -291. Diese S3-Körper umfassen 5 komplexe kubische Körper mit übereinstimmender Diskriminante dL = -94284, ein Wert, der mir ziemlich bekannt erschien. In der Tat, ein Vergleich mit meinen wohlvorbereiteten 6-Familien enthüllte das Fehlen des Körpers mit dem größten Regulator 25.6 in dieser 6-Familie in Fungs Tabelle. Das folgende Diagramm faßt einige Eigenschaften der Mitglieder dieser 6-Familie zusammen und hebt den fehlenden Körper mit roter Farbe hervor. Die Körper sind nach ihren Regulatoren Reg geordnet. Wir führen an: die Koeffizienten C und D eines erzeugenden Polynoms P(X) = X3 - CX - D, den Index I(P) von P(X), den Index der Einheitengruppe UO der Teilordnung O, die von der reellen Nullstelle von P(X) erzeugt wird, in der Einheitengruppe U der Hauptordnung und einen der Hauptfaktoren PF (der andere ist das Quadrat von PF).

Reg C D I(P) (U:UO) PF
8.9 -36 84 2 2 2
11.3 54 234 3 1 3
13.1 18 66 1 1 6
13.5 36 102 1 1 2
23.8 -18 294 5 2 6
25.6 -54 90 3 1 3


Neuberechnung aufgrund meiner wertvollen Hinweise

Ohne mein erzeugendes Polynom P(X) = X3 + 54X - 90 hätte Fung niemals den Fehler in einer Assembler-Subroutine seines umfangreichen Computer Programms entdeckt. Die ernüchternde Tatsache war, dass es überhaupt keine 5-Familien in der ganzen Tabelle gab. Die Veröffentlichung der "table errata" [3] wurde absichtlich verzögert bis sich die Gemüter im Jahr 1994 wieder beruhigt hatten. Es wäre angebracht gewesen, meine wesentliche Mitwirkung bei der Behebung der insgesamt 669 Fehler zu erwähnen, wurde aber unterlassen. Nach der Meinung von H. C. Williams wurden die theoretischen Aspekte der Abhandlung [2] nicht betroffen. Mein Eindruck ist jedoch, dass der sorglose Umgang mit mysteriösen Diskriminanten-Vielfachheiten sehr wohl einen ernsten Verstoß gegen theoretische Aspekte darstellte.


Literatur:


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