Kubische Zahlkörper

Strukturen, die von ganzzahligen irreduziblen Polynomen 3. Grades erzeugt werden


Polynome 3. Grades:

Jedes Polynom 3. Grades kann durch eine TSCHIRNHAUS-Transformation vom quadratischen Term befreit werden. (Solche Transformationen wurden erstmals systematisch von Graf Ehrenfried Walter von TSCHIRNHAUSEN aus Kieslingswalde bey Görlitz untersucht.) Es ist also keine Einschränkung der Allgemeinheit, wenn wir annehmen, das Polynom habe die Normalform P(X) = X3 + CX + D mit ganz rationalen Koeffizienten C und D. Eine Nullstelle xi eines über dem Körper Q der rationalen Zahlen irreduziblen Polynoms 3. Grades erzeugt durch Adjunktion an Q einen kubischen Zahlkörper L = Q(xi). Nach der Anzahl der reellen Nullstellen des erzeugenden Polynomes P(X) unterscheiden wir einfach reelle (oder komplexe) kubische Körper und dreifach (oder total) reelle kubische Körper.


1. Einfach reelle kubische Körper

Eine einzige reelle Nullstelle P(X) besitzt über R eine Zerlegung P(X) = (X - xi) (X2 + beta X + gamma) mit der reellen Nullstelle xi in R und einem über R irreduziblen Polynom 2. Grades mit Koeffizienten beta,gamma in R. Erst über C spaltet dieser quadratische Faktor weiter auf in (X - xi') (X - xi'') mit den konjugiert komplexen Nullstellen xi',xi'' in C. Der reelle kubische Zahlkörper L = Q(xi) besitzt zwei konjugierte, isomorphe komplexe kubische Zahlkörper L' = Q(xi') und L'' = Q(xi''). Die Körper-Monomorphismen von L gliedern sich in eine reelle Inklusion L-->R, xi-->xi und ein Paar von konjugiert komplexen Einbettungen L-->C, xi-->xi', L-->C, xi-->xi''. Die Signatur (s,t) von L, wobei s die Anzahl der reellen Einbettungen und t die Anzahl der Paare von konjugiert komplexen Einbettungen bedeutet, ist also (1,1). Der Einheitensatz von Dirichlet zeigt daher, dass die Einheitengruppe U_L von L durch eine einzige Fundamentaleinheit e (unendlicher Ordnung) und die Einheitswurzel -1 erzeugt werden kann: U_L = < e, -1 >.


2. Dreifach reelle kubische Körper

Drei reelle Nullstellen P(X) zerfällt über R vollständig in Linearfaktoren P(X) = (X - xi1) (X - xi2)(X - xi3) mit den drei reellen Nullstellen xi1,xi2,xi3 in R. Die drei Nullstellen erzeugen drei konjugierte, isomorphe reelle kubische Zahlkörper L1 = Q(xi1), L2 = Q(xi2), L3 = Q(xi3). An Körper-Monomorphismen von L1 haben wir die reelle Inklusion L1-->R, xi1-->xi1 und die reellen Einbettungen L1-->R, xi1-->xi2, L1-->R, xi1-->xi3. Dementsprechend ergibt sich für die Signatur von L1 (s,t) = (3,0). Gemäß dem Einheitensatz von Dirichlet besitzt die Einheitengruppe U_L von L in diesem Fall ein Fundamentalsystem aus genau 2 Einheiten e_1 und e_2 (unendlicher Ordnung) und der Einheitswurzel -1: U_L = < e_1, e_2, -1 >.


DIRICHLETscher Einheitenrang

Wie jede ABELsche Gruppe läßt sich auch die Einheitengruppe U_K eines algebraischen Zahlkörpers K in das direkte Produkt des Anteils endlicher Ordnung und des Anteils unendlicher Ordnung zerlegen. Der Anteil endlicher Ordnung heißt allgemein die Torsionsuntergruppe und hier speziell die Untergruppe der Einheitswurzeln oder Torsionseinheiten TU_K. Unter dem DIRICHLETschen Einheitenrang r versteht man die Anzahl der freien Erzeugenden unendlicher Ordnung, also den Z-Rang des torsionsfreien Anteils. Der fundamentale DIRICHLETsche Einheitensatz besagt, dass sich der DIRICHLETsche Einheitenrang r in der folgenden Weise aus der Signatur (s,t) berechnen läßt: r = s + t - 1. (Die Signatur ist mit dem absoluten Grad n = [K:Q] von K durch die Beziehung s + 2t = n verbunden.)


TSCHIRNHAUS-Transformationen

Im allgemeinsten Fall verstehen wir unter einer TSCHIRNHAUS-Transformation die Abbildung, die jedem Element rho eines algebraischen Zahlkörpers L das Hauptpolynom H_rho(X) von rho zuordnet: L --> Q[X], rho --> H_rho(X) = det( X*1_L - h_rho ) wobei h_rho in End_Q(L) die Homothetie alpha --> rho * alpha bedeutet. Die TSCHIRNHAUS-Transformation ist von der Wahl einer Q-Basis von L unabhängig. Insbesondere wird sie nicht beeinflusst von der Auswahl eines primitiven Elementes delta von L = Q( delta ) mit zugehöriger Potenzbasis (1,delta,...,deltan-1), wobei n den Grad [L:Q] von L über Q bezeichnet. Für die konkrete Berechnung wählen wir allerdings ein primitives Element delta von L und erhalten dann den Eindruck, die TSCHIRNHAUS-Transformation führe das Minimalpolynom M_delta(X) von delta in das Hauptpolynom H_rho(X) von rho über: L * { P(X) in Q[X] | P normiert und irreduzibel vom Grad n } --> Q[X], ( rho, M_delta(X) ) --> H_rho(X) wobei rho = r0 + r1*delta + ... + rn-1*deltan-1, weil L = Q + Q*delta + ... + Q*deltan-1 als Q-Vektorraum, und M_delta(X) = Xn + Mn-1*Xn-1 + ... + M1*X + M0 sowie H_rho(X) = Xn + Hn-1*Xn-1 + ... + H1*X + H0. Die Koeffizienten Hi des Hauptpolynoms H_rho(X) erscheinen als Polynome in den Koordinaten ri von rho bezüglich delta und in den Koeffizienten Mi des Minimalpolynoms M_delta(X).


Zurück zur Startseite von Daniel C. Mayer.