Relativ zyklische Körper von Primzahl-Grad

Hilberts Keim der Klassenkörper-Theorie


Die "Bibel" der algebraischen Zahlen:

In seinem berühmten "Zahlbericht" [1] stellt HILBERT (1862 - 1943) eine Reihe von Sätzen (Nr. 90 bis 94) über relativ zyklische Körper auf, die den Grundstein für das beeindruckende Gebäude der Klassenkörper-Theorie bilden, welches durch Weber, Takagi, Artin, Furtwängler und Hasse zur Vollendung gebracht wurde.

Portrait: Hilbert um 1886

Drei dieser Sätze und gewisse Verschärfungen sind für meine Klassifikation der kubischen Körper nach ihren ambigen Hauptidealen essentiell und sollen hier in verschiedenen Sprechweisen formuliert werden.

Wir nehmen dazu an, es sei K | k eine zyklische Relativerweiterung von algebraischen Zahlkörpern, G deren Relativgruppe Gal(K | k) und S eine erzeugende Substitution von G = < S >.

Satz 90:

Als Satz von den Zahlen der Relativnorm 1: Jede Zahl A in K mit der Relativnorm Nk( A ) = 1 bezüglich k ist die symbolische ( 1 - S )-te Potenz einer ganzen Zahl B von K, A = B1 - S.

Portrait: Hilbert um 1912

Als Satz der homologischen Algebra: Kx * ker( Nk ) / ( Kx )1 - S = H1( G, Kx ) = 1. Die 1. Kohomologiegruppe von G in Kx ist trivial. (* bezeichnet den Durchschnitt)


Verallgemeinerung: Nun sei K | k eine GALOISsche Relativerweiterung von algebraischen Zahlkörpern.

Satz:

Jede 1-Kokette von G in Kx, ( AS )S in G in ( Kx )G, die ein gekreuzter Homomorphismus ist, also AST = AS ATS für alle S,T in G, läßt sich als 1-Korand von G in Kx darstellen, ( AS )S in G = ( B1 - S )S in G mit einer ganzen Zahl B von K.


Voraussetzungen: Der Relativgrad [ K : k ] sei ab nun eine Primzahl p. Im Fall p = 2 mögen unter den zu K konjugierten Körpern doppelt so viele reelle vorkommen wie unter den zu k konjugierten Körpern.

Satz 92:

Als Satz von der Existenz einer Einheit der Relativnorm 1, die nicht Quotient zweier relativ konjugierten Einheiten ist: In K gibt es eine Einheit H mit der Relativnorm Nk( H ) = 1 bezüglich k, welche nicht die symbolische ( 1 - S )-te Potenz einer Einheit von K ist.

Portrait: Hilbert

Als Satz der homologischen Algebra: UK * ker( Nk ) / UK1 - S = H1( G, UK ) < > 1. Die 1. Kohomologiegruppe von G in UK ist nicht trivial. (* bezeichnet den Durchschnitt und UK * ker( Nk ) wird mit EK|k abgekürzt)


Portrait: Hilbert um 1932

Satz 94:

Fundamentalsatz von den relativ zyklischen Körpern mit der Relativdifferente 1. Die Relativdifferente von K bezüglich k sei jetzt Dk = (1). Dann gilt: In k gibt es ein Ideal j, das zwar in k kein Hauptideal ist, wohl aber in K ein Hauptideal wird: j = ( A ). Die p-te Potenz dieses Ideales ist schon in k ein Hauptideal, jp = ( Nk( A ) ), und seine Klasse besitzt somit die Ordnung p, [ j ]p = 1. Das heisst: weder der Kapitulationskern PK * Ik / Pk von K | k noch die p-elementare Klassengruppe Ck,p von k sind trivial und K ist ein HILBERTscher (unverzweigter) Klassenkörper von k. (* bezeichnet den Durchschnitt)


Anwendung auf kubische Körper:

Der Normalkörper N eines nicht Galoisschen kubischen Körpers K ist über seinem quadratischen Teilkörper k zyklisch vom Primzahl-Grad [ N : k ] = 3. Eine Grundeinheit e in der von allen normpositiven Teilkörpereinheiten von N erzeugten Untergruppe E0 von EN|k ("Alteinheiten" in der Terminologie von A. Scholz) kann also nach Hilberts Satz 90 als Quotient von relativ Konjugierten einer ganzen Zahl von N dargestellt werden. Für die Beschaffenheit dieser ganzen Zahl von N gibt es nun mehrere Möglichkeiten (vgl. [2] ):

e = A1-S e = B1-S e = E1-S e = H1-S e = Z1-S
(A) = a (B) = L1-T E in EN|k Nk(H) = eta Nk(Z) = zeta

In den ersten beiden Fällen kann die Grundeinheit e des kubischen Körpers K ausschließlich mit einer Nichteinheit X als Quotient e = X1 - S von relativ Konjugierten aus dem Normalkörper N dargestellt werden.

1. e = A1 - S mit einer Nichteinheit A von N, deren Hauptideal (A) = a Erweiterungsideal eines Ideales a von k ist aber keines Hauptideals von k (ausführlicher: AON = aON mit der Hauptordnung ON von N). Gemäß einer Definition von Moriya gehört dann e zur Gruppe E1 der Relativeinheiten 1. Art von N | k und das Hauptideal (A) = a liegt im Kapitulationskern PN * Ik / Pk von N | k. (* bezeichnet den Durchschnitt)

2. e = B1 - S mit einer Nichteinheit B von N, deren Hauptideal (B) = L1 - T in ganz charakteristischer Weise aus den Primoberidealen L1,L1T,...,Ls,LsT von N der endlich vielen Primideale l1,...,ls von K zusammengesetzt ist, die in N | K zerfallen und die Relativ-Differente von N | k teilen: L ist ein gewisses Produkt dieser Primoberideale und ihrer Quadrate. Das Hauptideal (B) = L1 - T liegt also in der Gruppe DN|k-Ik / Ik der relativ ambigen Hauptideale von N | k und somit im Kern der Norm von N | K. Dabei erklären wir DN|k- = PN * < L11 - T,...,Ls1 - T >. (* bezeichnet den Durchschnitt)

In den letzten drei Fällen läßt sich die Grundeinheit e des kubischen Körpers K mit einer Einheit Y als Quotient e = Y1 - S von relativ Konjugierten aus dem Normalkörper N darstellen.

3. e = E1 - S mit einer Relativeinheit E von N | k. Dann ist e = a3 / N(a) mit einem absolut ambigen Hauptideal (a) von K aus der Gruppe PKG / PQ, wobei G = < S >. Die Relativeinheit E selbst könnte in diesem Fall etwa eine Darstellung der Form E = b1 - S mit der Nichteinheit b = 1 / S2(a) haben.

4. e = H1 - S mit einer Einheit H, welche die Grundeinheit von k als Norm N(H) = eta besitzt, wenn k reell quadratisch und daher K total reell kubisch ist. Somit kann weder e einen Beitrag zur Erzeugung von EN|k modulo UN1 - S leisten, weil e in UN1 - S liegt, noch H, weil H keine Relativeinheit ist.

5. e = Z1 - S mit einer Einheit Z mit Norm N(Z) = zeta, die primitive 3. Einheitswurzel des zyklotomischen Körpers k = Q(zeta) im Fall eines reinen kubischen Körpers K. Auch hier kann weder e einen Beitrag zur Erzeugung von EN|k modulo UN1 - S beisteuern, weil e in UN1 - S liegt, noch Z, weil Z keine Relativeinheit ist.


Literatur:


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