Arnolds Ungeheuer

Ein außergewöhnlicher total reeller kubischer Körper


Von Arnold angekündigt - von Daniel gefunden:

Im August 1991 entdeckte ich [1] mit d = 146853 = 632 x 37 die kleinste (und bis zu d = 200000 einzige) total reelle kubische Diskriminante, die eine Vermutung von Arnold Scholz [2] bestätigt, dass die Klassenzahlbeziehung h(N) = h(k)h(L)2 / 9 auch für Ringklassenkörper N | k mit Führer f <> 1 möglich sein sollte. Bis zu meiner Entdeckung war die Gültigkeit dieser Klassenzahlbeziehung nur für gewisse absolute (Hilbert-) Klassenkörper N | k mit f = 1 gesichert. Hier bezeichnet N den sextischen Normalkörper des total reellen kubischen Körpers L mit der Diskriminante d und k den reell quadratischen Teilkörper von N.


Relative Hauptfaktorisierung statt Kapitulation:

Tatsächlich besitzt die mit dem total reellen kubischen Körper L der Diskriminante d = 146853 assoziierte zyklische kubische Relativerweiterung N | k den Führer f = 63. Er hat zwei Primteiler 3 and 7, die beide im reell quadratischen Körper k mit der Diskriminante 37 zerfallen. Da k die Klassenzahl h(k) = 1 hat, können wir hier keine Kapitulation von Idealklassen in N | k finden. Statt dessen beobachten wir eine 2-dimensionale relative Hauptfaktorisierung, die durch die Primideale des sextischen Normalkörpers N über 3 und 7 erzeugt wird. Körpern mit dieser Eigenschaft wurde in [3] der Hauptfaktorisierungs-Typus ALPHA 3 zugeschrieben. Arnolds Ungeheuer ist also der erste und bisher einzige bekannte Fall des Typus ALPHA 3.


Verweise:

Eine Beschreibung aller möglichen Hauptfaktorisierungs-Typen, die ich in [3] definiert habe, finden Sie auf der Seite Hauptfaktorisierungs-Typen von kubischen Körpern.

Die komplette Statistik der Population dieser Hauptfaktorisierungs-Typen im Bereich der Berechnungen in [1] erhalten Sie durch den Link zur Tabelle Verteilung der total reellen kubischen Körper.


Die Idealklassengruppe von Arnolds Ungeheuer:

Der total reelle kubische Körper mit Diskriminante d = 146853 hat schon im Jahr 1985 unsere Aufmerksamkeit auf sich gezogen, als Ennola und Turunen [4] fanden, dass er bis zu d = 500000 einer der wenigen Körper mit einer nicht zyklischen 3-Klassengruppe der Struktur C(3) x C(3) ist.
Es scheint also eine Verbindung zwischen dem seltenen Hauptfaktorisierungs-Typus ALPHA 3 und einer nicht zyklischen 3-Klassengruppe zu geben.


Literatur:


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