Algorithmus von Voronoi in reinen kubischen Körpern

Wir flitzen längs des VORONOI Highways:

Zur Bestimmung des Hauptfaktorisierungs-Typus eines reinen kubischen Zahlkörpers L = Q(R^1/3) mit Radikand R = mn² benützen wir den Algorithmus von VORONOI [1]. Dieses Verfahren liefert die Periode aller Gitterminima in der diskreten Einbettung der Hauptordnung von L. Die Periode beginnt mit der trivialen Einheit 1 und endet mit der Grundeinheit e₀ < 1 von L. Im übrigen enthält sie ganze algebraische Zahlen kleiner Norm unterhalb der Minkowski-Schranke.

Auch die Erzeugenden von primitiven ambigen Hauptidealen in L sind ganze algebraische Zahlen kleiner Norm. Daher besteht eine große Wahrscheinlichkeit, sie unter den Gitterminima der Periode in der Hauptordnung zu finden und die seltenen Körper, bei denen dies nicht der Fall ist, nennen wir exotische Körper. Tatsächlich läßt sich für umfangreiche Klassen reiner kubischer Zahlkörper beweisen, dass allfällige von Radikalen verschiedene Erzeuger primitiver ambiger Hauptideale in der Periode der Hauptordnung oder einer speziellen Teilordnung als Gitterminima vorkommen müssen:

1. bei Körpern der 1. Dedekindschen Art mit Radikanden R kongruent 0 modulo 3 in der Hauptordnung O_L = Z + Z(mn²)^1/3 + Z(m²n)^1/3 [2],

2. bei Körpern der 2. Dedekindschen Art mit Radikanden R kongruent 1,-1 modulo 9 in der speziellen Teilordnung O = Z + Z(mn²)^1/3 + Z(m²n)^1/3 [3], nicht jedoch in der Hauptordnung O_L = Z[1+m(mn²)^1/3 +n(m²n)^1/3] + Z(mn²)^1/3 + Z(m²n)^1/3.

Besonders hartnäckige Körper:

Bei den noch verbleibenden Körpern der 1. Dedekindschen Art mit Radikanden R kongruent 2,-2,4,-4 modulo 9 ist eine allgemeine Aussage für die Hauptordnung nicht möglich und eine ausgezeichnete Teilordnung gibt es hier nur im Fall n > 1.

Nun kommt für die Körper mit Radikanden R kongruent 2,-2,4,-4 modulo 9 der günstige Umstand zu Hilfe, dass bei ihnen der Hauptfaktorisierungs-Typus GAMMA ausgeschlossen ist, weil der Radikand R mindestens einen Primteiler p inkongruent 1,-1 modulo 9 und p <> 3 enthält. Da es für die Hauptfaktorisierungs-Typen BETA und GAMMA ein gemeinsames Kriterium in Form einer Kongruenzbeziehung für die Koeffizienten der Grundeinheit e₀ gibt, können wir für R kongruent 2,-2,4,-4 modulo 9 die Typen ALPHA und BETA ebenso trennen, wie wir für R kongruent 0 modulo 3 bzw. R kongruent 1,-1 modulo 9 die Typen ALPHA und GAMMA unterscheiden. Die allerneuesten Ergebnisse finden Sie in meiner Serie Joint Research 2002.

Literatur:

• [1] G. F. Voronoi, Ob odnom obobshchenii algorifma nepreryvnykh drobei (Über eine Verallgemeinerung des Kettenbruch-Algorithmus), Doktor-Dissertation, 1896, Warschau (Russisch)
• [2] H. C. Williams, Determination of principal factors in Q(D^1/2) and Q(D^1/3), Math. Comp. 38 (1982), no. 157, 261-274
• [3] D. C. Mayer, Differential principal factors and units in pure cubic number fields, 1989, Dept. of Math., Univ. of Graz

Zurück zur Startseite von Daniel C. Mayer.