Abstract English

The main research line of this project investigates unramified extensions of prime power degree over algebraic number fields. Building on our preparatory work on identifying the second p-class group of a number field by means of the structure of kernels and targets of transfers from this group to its normal subgroups containing the commutator subgroup we strive for proofs of restrictive selection rules for the second p-class group of special kinds of base fields. In international cooperation we plan to analyze bicyclic biquadratic and cyclic quartic number fields with elementary abelian p-class group of rank two or three, for the first time. The group theoretic information will arise from the arithmetic of these base fields, namely from the structure of the p-class groups of their unramified extensions within the first Hilbert p-class field and from the capitulation of ideal classes in these extensions. Even more challenging results we intend in the further investigation of the quadratic base fields, whose second p-class groups are known already from our preparatory work and thus provide an optimal starting point to tackle the last conceivable target, namely the length of the p-class field tower and the maximal unramified pro-p extension, by means of the methods of Golod-Shafarevich and Koch-Venkov. For the final deduction of selection rules for the second p-class group and for the potentially infinite pro-p group of the entire tower we stay in close contact with the international research frontier of the coclass theory of p-groups and determine the possible Galois groups with the aid of a combination of the p-group generation algorithm in bottom-up direction and the cohomological periodicity isomorphisms by forming quotients of infinite pro-p groups in top-down direction.
In a second research line, we want to employ extensible results of our former Erwin Schrödinger project for the further investigation of ramified cyclic extensions of odd prime degree over cyclotomic and quadratic base fields, on the one hand, to obtain a classification of pure quintic fields according to their ambiguous principal ideals, on the other hand, for a deeper treatment of dihedral fields, using the integral representations of their S-unit groups as Galois modules, for finite Galois-stable sets S of places containing the Archimedean ones.

Abstract German

Der Hauptforschungszweig dieses Projekts untersucht unverzweigte Erweiterungen von Primzahlpotenzgrad über algebraischen Zahlkörpern. Aufbauend auf unseren Vorarbeiten zur Identifizierung der zweiten p-Klassengruppe eines Zahlkörpers mithilfe der Struktur der Kerne und Ziele der Verlagerungen dieser Gruppe in ihre Normalteiler oberhalb der Kommutatoruntergruppe erstreben wir die Herleitung möglichst einschränkender Auswahlregeln für die zweite p-Klassengruppe spezieller Typen von Grundkörpern. In internationaler Zusammenarbeit ist die erstmalige Analyse von bizyklisch biquadratischen und zyklisch quartischen Zahlkörpern mit elementar abelscher p-Klassengruppe vom Rang zwei oder drei geplant. Die gruppentheoretische Information wird sich aus der Arithmetik dieser Grundkörper ergeben, nämlich aus der Struktur der p-Klassengruppen ihrer unverzweigten Erweiterungen innerhalb des ersten Hilbertschen p-Klassenkörpers und aus der Kapitulation von Idealklassen in diesen. Noch wesentlich anspruchsvollere Ergebnisse wollen wir in der weiteren Erforschung der quadratischen Grundkörper erreichen, deren zweite p-Klassengruppen bereits aus unseren Vorarbeiten bekannt sind und somit einen optimalen Ausgangspunkt bilden, um auch noch das letzte denkbare Ziel, nämlich die Länge des p-Klassenkörperturms und die maximale unverzweigte pro-p Erweiterung mittels der Methoden von Golod-Shafarevich und Koch-Venkov in Angriff zu nehmen. Für die abschließende Herleitung der Auswahlregeln sowohl für die zweite p-Klassengruppe als auch für die potentiell unendliche pro-p Gruppe des gesamten Turms bleiben wir in engem Kontakt mit der internationalen Forschungsfront der Koklassentheorie der p-Gruppen und ermitteln die möglichen Galoisgruppen durch eine Kombination des p-Gruppen Erzeugungs-Algorithmus in bottom-up Richtung und der kohomologischen Periodizitäts-Isomorphismen durch Quotientenbildung aus unendlichen pro-p Gruppen in top-down Richtung.
In einem Nebenforschungszweig sollen ausbaufähige Ergebnisse unseres ehemaligen Erwin Schrödinger Projekts zur weiteren Untersuchung von verzweigten primzyklischen Erweiterungen zyklotomischer und quadratischer Grundkörper herangezogen werden, einerseits für eine Klassifikation reiner quintischer Körper nach ihren ambigen Hauptidealen und andererseits für eine vertiefte Behandlung von Diederkörpern unter Verwendung der ganzzahligen Darstellungen ihrer S-Einheitengruppen als Galois-Moduln.