Wie viele Körper haben dieselbe Diskriminante?

Das Problem der Vielfachheit


Wozu dient die Diskriminante?

Der Begriff Diskriminante ist vom lateinischen Wort "discriminare" abgeleitet, welches so viel wie "unterscheiden" bedeutet. Bis zum ersten Viertel des 20. Jahrhunderts meinte man nämlich, man könne algebraische Zahlkörper einer festen Signatur und Galoisgruppe mit Hilfe der ganzzahligen Diskriminante ihrer Hauptordnung bis auf Isomorphie eindeutig identifizieren, also nicht isomorphe Körper eindeutig unterscheiden.

So vermutete etwa kein geringerer als der berühmte Algebraiker E. ARTIN noch um 1925, er könne mit Hilfe der Klassenkörpertheorie zeigen, dass nichtisomorphe Körper niemals dieselbe Diskriminante besitzen. Dies ist bei den quadratischen Körpern auch tatsächlich richtig.


Die Katastrophe:

Gerade die Klassenkörpertheorie lieferte jedoch um 1930 in einer grundlegenden Arbeit von A. SCHOLZ und O. TAUSSKY [1] die ersten Gegenbeispiele zu dieser Vermutung in Form von einigen Familien von je 4 nichtisomorphen komplexen kubischen Körpern gleicher Diskriminante d, z. B. d = -3299, -3896, -4027, -5703. Diese und zahlreiche weitere Beispiele werden auch in meiner Abhandlung [2] detailliert untersucht.

Allgemein nennen wir die Anzahl der nichtisomorphen Körper einer festen Signatur und Galoisgruppe mit übereinstimmender Diskriminante d die Vielfachheit m der Diskriminante d.

Die computerunterstützte Konstruktion von immer umfangreicheren Tabellen kubischer Körper der Signaturen (1,1) und (3,0) brachte dann weitere Beispiele von Familien höherer Diskriminanten-Vielfachheit m = 2,3,4,6,9. Einige Fehler in solchen Tabellen verursachten viel Verwirrung bezüglich der Vielfachheit m = 5. Neulich wurden sogar quintische Körper mit m = 2 entdeckt.


Anfänge einer Theorie der Vielfachheit:

Portrait: Hasse

Zwei grundlegende Ansätze zur Aufstellung exakter Formeln für die Vielfachheit m kubischer Diskriminanten stammen

  1. von H. HASSE (1930) mit Hilfe der Klassenkörpertheorie der zugehörigen Normalkörper [3]
  2. von H. REICHARDT (1933) mittels der Kummer-Theorie der zugehörigen Radikalkörper [4]

Die Methode von REICHARDT ist ansatzweise schon 1925 bei W. E. H. BERWICK [5] vorhanden und wurde 1965 von J. MARTINET und J.-J. PAYAN [6] , [7] erneut aufgegriffen.


Neueste Theorie der Vielfachheit:

Ich habe 1991 die Idee von HASSE für diedrale Körper vom Grade 2p mit einer Primzahl p > 2 [8] und zusammen mit Pierre BARRUCAND in Paris für reine metazyklische Körper vom Grade p(p-1) [9] verallgemeinert und eine große Zahl neuer Formeln für die Vielfachheit m in Abhängigkeit von Invarianten zugehöriger quadratischer Körper k aufgestellt, wie zum Beispiel:

Formeln von D. C. MAYER:

m = pr (p-1)u [(p-1)v-1 - (-1)v-1] / p
m = pr+w (p-1)u [(p-1)v-1 + (-1)v-a(1)(p-1)a(1) + ... + (-1)v-a(n)(p-1)a(n)] / p2

Dabei bezeichnet r den p-Klassenrang von k, t bzw. u bzw. v die Anzahl aller bzw. der freien bzw. restriktiven Primteiler des Führers, w = 0,1 den Indikator für den irregulären Führerprimteiler 3, n = p+1 die Anzahl der Hyperebenen eines 2-dimensionalen p-Vektorraums und a(1),...,a(n) die Partition von v in die Anzahlen der zu den Hyperebenen gehörigen Primteiler des Führers. Als Anwendungsbeispiele für den kubischen Fall p = 3 dienen 3-Netzwerke über quadratischen Zahlkörpern mit 3-Klassenrang r = 2.

Formeln von P. BARRUCAND und D. C. MAYER:

m = (p-1)t
m = (p-1)u [(p-1)v - (-1)v] / p
m = (p-1)u [(p-1)v-1 - (-1)v-1] / p

Die allerneuesten Ergebnisse finden Sie in meiner Serie Wiener Kongress 2001.


Literatur:


Zurück zur Startseite von Daniel C. Mayer.